Determinante

In der Linearen Algebra ist die Determinante eine spezielle Funktion, die einer quadratischen Matrix bzw. allgemein einem Endomorphismus einen Skalar zuordnet. Zum Beispiel hat die -Matrix

die Determinante

Formeln für größere Matrizen werden weiter unten behandelt.

Mit Hilfe von Determinanten kann man feststellen, ob ein Lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit der sogenannten Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Man kann Vektoren im die Determinante derjenigen quadratischen Matrix zuordnen, deren Spalten die gegebenen Vektoren bilden. Mit dieser Festlegung kann das Vorzeichen der Determinante, welche einer Basis zugeordnet ist, dazu verwendet werden, den Begriff der Orientierung in Euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante ist gleich dem Volumen des Parallelepipeds (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird. Eine Folgerung ist: Wird die lineare Abbildung f(S)</math> durch gegeben. Allgemeiner gilt: Wird die lineare Abbildung durch die -Matrix repräsentiert, und ist eine beliebige messbare Teilmenge, so ist das -dimensionale Volumen von gegeben durch .


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Geschichte

Historisch gesehen wurden Determinanten ( „abgrenzen“, „bestimmen“) bereits vor den Matrizen betrachtet. Ursprünglich war eine Determinante als eine Eigenschaft eines linearen Gleichungssystems definiert. Die Determinante „determiniert“, ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich null ist). In diesem Zusammenhang wurden 2×2-Matrizen von Cardano Ende des 16. Jahrhunderts und größere von Leibniz ungefähr 100 Jahre später behandelt. Die axiomatische Behandlung der Determinante als Funktion von unabhängigen Variablen gibt als erster Karl Weierstraß in seinen Berliner Vorlesungen (spätestens ab dem Jahre 1864 und möglicherweise schon davor), an welche dann Ferdinand Georg Frobenius in dessen Berliner Vorlesungen des Sommersemesters 1874 anknüpft und dabei unter anderem und vermutlich als erster den laplaceschen Entwicklungssatz systematisch auf diese Axiomatik zurückführt .

Definition

Determinante einer quadratischen Matrix (axiomatische Beschreibung)

Eine Abbildung vom Raum der quadratischen Matrizen in den zugrundeliegenden Körper bildet jede Matrix auf ihre Determinante ab, wenn sie folgende drei Eigenschaften (Axiome nach Karl Weierstraß) erfüllt, wobei eine quadratische Matrix spaltenweise als geschrieben wird:

  • Sie ist multilinear, d. h. linear in jeder Spalte:
Für alle gilt:

Für alle und alle gilt
  • Sie ist alternierend, d. h., wenn in zwei Spalten das gleiche Argument steht, ist die Determinante gleich 0:
Für alle und alle gilt
Hieraus folgt, dass sich gerade das Vorzeichen ändert, wenn man zwei Spalten vertauscht:
Für alle und alle gilt:
Oft wird diese Folgerung zur Definition von alternierend verwendet. Im Allgemeinen ist diese jedoch nicht zur obigen äquivalent. Wird alternierend nämlich auf die zweite Weise definiert, gibt es keine eindeutige Determinantenform, wenn der Körper, über dem der Vektorraum gebildet wird, ein von 0 verschiedenes Element mit besitzt (Charakteristik 2).

Es lässt sich beweisen – und Karl Weierstraß hat dies 1864 (oder sogar früher) getan –, dass es eine und nur eine solche normierte alternierende Multilinearform auf der Algebra der \det</math> (Weierstraßsche Determinantenkennzeichnung). Auch die schon erwähnte geometrische Interpretation (Volumeneigenschaft und Orientierung) folgt daraus.

Leibniz-Formel

Für eine -Matrix wurde die Determinante von Gottfried Wilhelm Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel definiert:

Die Summe wird über alle Permutationen S_n\sigma</math>: +1, falls eine gerade Permutation ist, und -1, falls sie ungerade ist.

Ob eine Permutation gerade oder ungerade ist, erkennt man an der Anzahl der Transpositionen, die benötigt worden sind, um die Permutation zu erzeugen. Eine gerade Anzahl an Vertauschungen bedeutet, dass die Permutation gerade ist, eine ungerade Anzahl an Vertauschungen bedeutet, dass die Permutation ungerade ist.

Beispiel

  • zwei Vertauschungen und somit gerade
  • eine Vertauschung und somit ungerade

Diese Formel enthält Summanden und ist somit unhandlich, falls größer als 3 ist. Sie eignet sich jedoch zum Beweis von Aussagen über Determinanten.

Eine alternative Schreibweise der Leibniz-Formel verwendet das Levi-Civita-Symbol und die Summenkonvention:

.

Verallgemeinerung

Auf die gleiche Weise kann man die Determinante für Matrizen definieren, deren Einträge in einem kommutativen Ring mit Eins liegen. Dies erfolgt mit Hilfe einer gewissen antisymmetrischen multilinearen Abbildung: Falls R</math>-Modul, dann sei

die eindeutig bestimmte Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

  • ist -linear in jedem der Argumente.
  • ist antisymmetrisch, d. h. falls zwei der Argumente gleich sind, so liefert Null.
  • , wobei das Element von ist, das eine 1 als -te Koordinate hat und sonst Nullen.

Eine Abbildung mit den ersten beiden Eigenschaften wird auch als Determinantenfunktion, Volumen oder alternierende -Linearform bezeichnet. Man erhält die Determinante, indem man auf natürliche Weise mit dem Raum der quadratischen Matrizen identifiziert:

.

Determinante eines Endomorphismus

Es sei KKn</math> über betrachten.)

Die Determinante KV</math>. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Die Definition lässt sich ohne Verwendung von Matrizen folgendermaßen formulieren: Sei \det ff</math> ist. Es sei eine Basis von . Dann gilt

. Es ist \left(v_1,\ldots,v_n\right)</math> aufgespannten Spates mit dem Faktor multipliziert.

Eine alternative Definition ist die folgende: Es sei nf\Lambda V</math>, eingeschränkt auf die Komponente vom Grad .) Dann ist ein eindimensionaler -Vektorraum (bzw. ein freier -Modul vom Rang 1), also kann die lineare Abbildung mit einem Element von identifiziert werden; dieses Element ist die Determinante von .

Berechnung

Matrizen bis zur Größe 3×3

Für eine nur aus einem Koeffizienten bestehende -Matrix ist

Ist eine -Matrix, dann ist

Für eine -Matrix gilt die Formel

Will man diese Determinante von Hand berechnen, so stellt die Regel von Sarrus dafür ein einfaches Schema zur Verfügung.

Spatprodukt

Liegt eine -Matrix vor, lässt sich deren Determinante auch über das Spatprodukt berechnen.

Gaußsches Eliminationsverfahren zur Determinantenberechnung

Allgemein können Determinanten mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren unter Verwendung der folgenden Regeln berechnet werden:

  • Ist A</math>.
  • Falls sich aus ergibt, indem man zwei Zeilen oder Spalten vertauscht, dann ist
  • Falls \det B=\det A</math>.
  • Falls sich aus ergibt, indem man ein -faches einer Zeile oder Spalte bildet, dann ist .

Beginnend mit einer beliebigen quadratischen Matrix benutzt man die letzten drei dieser vier Regeln, um die Matrix in eine obere Dreiecksmatrix zu überführen, und berechnet dann die Determinante als Produkt der Diagonalelemente.

Auf diesem Prinzip basiert auch die Determinantenberechnung mittels der LR-Zerlegung. Da sowohl als auch Dreiecksmatrizen sind, ergeben sich ihre Determinanten aus dem Produkt der Diagonalelemente, die bei alle auf 1 normiert sind. Gemäß dem Determinantenproduktsatz ergibt sich die Determinante damit aus dem Zusammenhang

Laplacescher Entwicklungssatz

Mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz kann man die Determinante einer -Matrix „nach einer Zeile oder Spalte entwickeln“. Die beiden Formeln lauten

(Entwicklung nach der -ten Spalte)
(Entwicklung nach der -ten Zeile)

wobei A\tilde a_{ij}</math> genannt.

Genau genommen gibt der Entwicklungssatz nur ein Verfahren an, die Summanden der Leibniz-Formel in einer bestimmten Reihenfolge zu berechnen. Dabei wird die Determinante bei jeder Anwendung um eine Dimension reduziert. Falls gewünscht, kann das Verfahren so lange angewandt werden, bis sich ein Skalar ergibt. Ein Beispiel ist

(Entwicklung nach der ersten Zeile), oder allgemein

Der Laplacesche Entwicklungssatz lässt sich auf folgende Weise verallgemeinern. Statt nur nach einer Zeile oder Spalte kann man auch nach mehreren Zeilen oder Spalten entwickeln. Die Formel dafür lautet

,

mit den folgenden Bezeichnungen: I|J|\binom{n}{k}</math> mit .

Effizienz: Der Aufwand für die Berechnung nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz für eine Matrix der Dimension ist von der Ordnung , während die üblichen Verfahren nur von sind und teilweise noch besser (siehe beispielsweise Strassen-Algorithmus) gestaltet werden können. Dennoch kann der Laplacesche Entwicklungssatz bei kleinen Matrizen und Matrizen mit vielen Nullen gut angewendet werden.

Eigenschaften

Determinantenproduktsatz

Die Determinante ist eine multiplikative Abbildung in dem Sinne, dass

 für alle -Matrizen und .

Das bedeutet, dass die Abbildung K^*</math> des Körpers ist. Der Kern dieser Abbildung ist die spezielle lineare Gruppe. Allgemeiner gilt für die Determinante einer quadratischen Matrix, welche das Produkt zweier (nicht notwendig quadratischer) Matrizen ist, der Satz von Binet-Cauchy.

Noch allgemeiner ergibt sich als unmittelbare Folgerung aus dem Satz von Binet-Cauchy eine Formel für die Berechnung eines Minors der Ordnung eines Produktes zweier Matrizen. Ist eine -Matrix und eine -Matrix und ist und mit , dann gilt mit den Bezeichnungen wie beim verallgemeinerten Entwicklungssatz

,

Der Fall liefert den Satz von Binet-Cauchy (welcher für zum gewöhnlichen Determinantenproduktsatz wird) und der Spezialfall liefert die Formel für die gewöhnliche Matrizenmultiplikation.

Multiplikation mit Skalaren

Es ist einfach zu sehen, dass und somit

r</math>.

Existenz der inversen Matrix

Eine Matrix \det AA</math> invertierbar ist, dann ist .

Transponierte Matrix

Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselbe Determinante

Ähnliche Matrizen

Falls und ähnlich sind, das heißt falls eine invertierbare Matrix existiert, so dass , dann stimmen ihre Determinanten überein, denn

Deswegen kann man unabhängig von einer Koordinatendarstellung die Determinante einer linearen Selbstabbildung V</math> wählt, die Abbildung durch eine Matrix relativ zu dieser Basis beschreibt und die Determinante dieser Matrix nimmt. Das Ergebnis ist unabhängig von der gewählten Basis.

Es gibt Matrizen, die die gleiche Determinante haben, aber nicht ähnlich sind.

Blockmatrizen

Für die Determinante einer -Blockmatrix

mit quadratischen Blöcken und kann man unter gewissen Voraussetzungen Formeln angeben, welche die Blockstruktur ausnutzen. Für oder folgt aus dem verallgemeinerten Entwicklungssatz:

.

Diese Formel wird auch Kästchensatz genannt.

Ist invertierbar, so folgt aus der Zerlegung

die Formel

.

Wenn invertierbar ist, so lässt sich formulieren

Im Spezialfall, dass alle vier Blöcke die gleiche Größe haben und paarweise kommutieren, ergibt sich daraus mit Hilfe des Determinantenproduktsatzes

.

Dabei bezeichne n\times nJohn R. Silvester: Determinants of Block Matrices. In: The Mathematical Gazette. Vol. 84, No. 501 (November 2000), S. 460-467 (PDF; 148KB).

Eigenwerte

Versteht man die \lambda_1, \ldots,\lambda_n</math> Eigenwerte von (ein jeder mit seiner Vielfachheit auftretend), dann gilt: Kennt man also die Eigenwerte einer Matrix, und gibt es deren Stück, so kann man mit diesen die Determinante einfach berechnen.

Ableitung

Die Determinante von reellen quadratischen Matrizen fester Dimension \det\colon\R^{n\times n}\to \R</math> und als solche überall differenzierbar. Ihre Ableitung kann mit Hilfe von Jacobis Formel dargestellt werden:

wobei A</math>, dass

oder vereinfacht

falls die Werte der Matrix E</math> ist, ergibt

Ähnliche Begriffe

Die Permanente ist ein „vorzeichenloses“ Analogon zur Determinante, wird allerdings viel seltener verwendet.

Siehe auch

Weblinks

Literatur

Artikel

Lehrbücher

Einzelnachweise

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